Когда изучают механическое движение в физике, то после ознакомления с равномерным и равноускоренным перемещением объектов, переходят к рассмотрению движения тела под углом к горизонту. В данной статье изучим подробнее этот вопрос.

Что собой представляет движение тела под углом к горизонту?

Этот тип перемещения объектов возникает, когда человек бросает камень в воздух, пушка совершает выстрел ядром, или вратарь выбивает от ворот футбольный мяч. Все подобные случаи рассматриваются наукой баллистикой.

Отмеченный вид перемещения объектов в воздухе происходит по параболической траектории. В общем случае проведение соответствующих расчетов является делом не простым, поскольку необходимо учитывать сопротивление воздуха, вращение тела во время полета, вращение Земли вокруг оси и некоторые другие факторы.

В данной статье мы не будем учитывать все эти факторы, а рассмотрим вопрос с чисто теоретической точки зрения. Тем не менее, полученные формулы достаточно хорошо описывают траектории тел, перемещающихся на небольшие расстояния.

Получение формул для рассматриваемого вида движения

Выведем тела к горизонту под углом. При этом будем учитывать только одну-единственную силу, действующую на летящий объект - силу тяжести. Поскольку она действует вертикально вниз (параллельно оси y и против нее), то, рассматривая горизонтальную и вертикальную составляющие движения, можно сказать, что первая будет иметь характер равномерного прямолинейного перемещения. А вторая - равнозамедленного (равноускоренного) прямолинейного перемещения с ускорением g. То есть, компоненты скорости через значение v 0 (начальная скорость) и θ (угол направления движения тела) запишутся так:

v x = v 0 *cos(θ)

v y = v 0 *sin(θ)-g*t

Первая формула (для v x) справедлива всегда. Что касается второй, то тут нужно отметить один нюанс: знак минус перед произведением g*t ставится только в том случае, если вертикальная компонента v 0 *sin(θ) направлена вверх. В большинстве случаев так и происходит, однако, если бросить тело с высоты, направив его вниз, тогда в выражении для v y следует поставить знак "+" перед g*t.

Проинтегрировав формулы для компонент скорости по времени, и учитывая начальную высоту h полета тела, получаем уравнения для координат:

x = v 0 *cos(θ)*t

y = h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2

Вычисление дальности полета

При рассмотрении в физике движения тела к горизонту под углом, полезным для практического применения, оказывается расчет дальности полета. Определим ее.

Поскольку это перемещение представляет собой равномерное движения без ускорения, то достаточно подставить в него время полета и получить необходимый результат. Дальность полета определяется исключительно перемещением вдоль оси x (параллельно горизонту).

Время нахождения тела в воздухе можно вычислить, приравняв к нулю координату y. Имеем:

0 = h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2

Это квадратное уравнение решаем через дискриминант, получаем:

D = b 2 - 4*a*c = v 0 2 *sin 2 (θ) - 4*(-g/2)*h = v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h,

t = (-b±√D)/(2*a) = (-v 0 *sin(θ)±√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/(-2*g/2) =

= (v 0 *sin(θ)+√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/g.

В последнем выражении один корень со знаком минуса отброшен, в виду его незначительного физического значения. Подставив время полета t в выражение для x, получаем дальность полета l:

l = x = v 0 *cos(θ)*(v 0 *sin(θ)+√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/g.

Проще всего это выражение проанализировать, если начальная высота равна нулю (h=0), тогда получим простую формулу:

l = v 0 2 *sin(2*θ)/g

Это выражение свидетельствует, что максимальную дальность полета можно получить, если тело бросить под углом 45 o (sin(2*45 o) = м1).

Максимальная высота подъема тела

Помимо дальности полета, также полезно найти высоту над землей, на которую может подняться тело. Поскольку этот тип движения описывается параболой, ветви которой направлены вниз, то максимальная высота подъема является ее экстремумом. Последний рассчитывается путем решения уравнения для производной по t для y:

dy/dt = d(h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2)/dt = v 0 *sin(θ)-gt=0 =>

=> t = v 0 *sin(θ)/g.

Подставляем это время в уравнение для y, получаем:

y = h+v 0 *sin(θ)*v 0 *sin(θ)/g-g*(v 0 *sin(θ)/g) 2 /2 = h + v 0 2 *sin 2 (θ)/(2*g).

Это выражение свидетельствует, что на максимальную высоту тело поднимется, если его бросить вертикально вверх (sin 2 (90 o) = 1).

Пусть тело брошено под углом α к горизонту со скоростью \(~\vec \upsilon_0\). Как и в предыдущих случаях, будем пренебрегать сопротивлением воздуха. Для описания движения необходимо выбрать две оси координат - Ox и Oy (рис. 1). Начало отсчета совместим с начальным положением тела. Проекции начальной скорости на оси Oy и Ox \[~\upsilon_{0y} = \upsilon_0 \sin \alpha; \ \upsilon_{0x} = \upsilon_0 \cos \alpha\]. Проекции ускорения: g x = 0; g y = -g .

Тогда движение тела будет описываться уравнениями:

\(~x = \upsilon_0 \cos \alpha t; \qquad (1)\) \(~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha; \qquad (2)\) \(~y = \upsilon_0 \sin \alpha t - \frac{gt^2}{2}; \qquad (3)\) \(~\upsilon_y = \upsilon_0 \sin \alpha - gt. \qquad (4)\)

Из этих формул следует, что в горизонтальном направлении тело движется равномерно со скоростью \(~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha\), а в вертикальном - равноускоренно.

Траекторией движения тела будет парабола. Учитывая, что в верхней точке параболы υ y = 0, можно найти время t 1 подъема тела до верхней точки параболы:

\(~0 = \upsilon_0 \sin \alpha - gt_1 \Rightarrow t_1 = \frac{\upsilon_0 \sin \alpha}{g}. \qquad (5)\)

Подставив значение t 1 в уравнение (3), найдем максимальную высоту подъема тела:

\(~h_{max} = y_1 = \upsilon_0 \sin \alpha \frac{\upsilon_0 \sin \alpha}{g} - \frac{g}{2} \frac{\upsilon^2_0 \sin^2 \alpha}{g^2},\) \(~h_{max} = \frac{\upsilon^2_0 \sin^2 \alpha}{2g}\) - максимальная высота подъема тела.

Время полета тела находим из условия, что при t = t 2 координата y 2 = 0. Следовательно, \(~\upsilon_0 \sin \alpha t_2 - \frac{gt^2_2}{2} = 0\). Отсюда, \(~t_1 = \frac{2 \upsilon_0 \sin \alpha}{g}\) - время полета тела. Сравнивая эту формулу с формулой (5), видим, что t 2 = 2 t 1 . Время движения тела с максимальной высоты t 3 = t 2 - t 1 = 2t 1 - t 1 = t 1 . Следовательно, сколько времени тело поднимается на максимальную высоту, столько времени оно опускается с этой высоты. Подставляя в уравнение координаты x (1) значение времени t 2 , найдем:

\(~l = \frac{2 \upsilon_0 \cos \alpha \upsilon_0 \sin \alpha}{g} = \frac{\upsilon^2_0 \sin 2\alpha}{g}\) - дальность полета тела.

Мгновенная скорость в любой точке траектории направлена по касательной к траектории (см. рис. 1). модуль скорости определяется по формуле

\(~\upsilon = \sqrt{\upsilon^2_x + \upsilon^2_y} = \sqrt{\upsilon^2_0 \cos^2 \alpha + (\upsilon_0 \sin \alpha - gt^2)} = \sqrt{\upsilon^2_0 - 2 \upsilon_0 gt \sin \alpha + g^2t^2} .\)

Таким образом, движение тела, брошенного под углом к горизонту или в горизонтальном направлении, можно рассматривать как результат двух независимых движений - горизонтального равномерного и вертикального равноускоренного (свободного падения без начальной скорости или движения тела, брошенного вертикально вверх).

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - С. 16-17.

Если начальная скорость брошенного тела направлена вверх под некоторым углом к горизонту, то в начальный момент тело имеет составляющие начальной скорости как в горизонтальном, так и в вертикальном направлениях (рис. 178).

Рис. 178. Траектория тела, брошенного под углом к горизонту (в отсутствие сопротивления воздуха)

Задача отличается от рассмотренной в предыдущем параграфе тем, что начальная скорость не равна нулю и для движения по вертикали. Для горизонтальной же составляющей все сказанное остается в силе.

Введем координатные оси: ось , направленную по вертикали вверх, и горизонтальную ось , расположенную в одной вертикальной плоскости с начальной скоростью . Проекция начальной скорости на ось равна , а на ось равна (при показанном на рис. 178 направление осей и обе проекции положительны). Ускорение тела равно и, следовательно, все время направлено по вертикали вниз. Поэтому проекция ускорения на ось равна - , а на ось - нулю.

Поскольку составляющая ускорения в направлении оси отсутствует, проекция скорости на ось остается постоянной и равной своему начальному значению . Следовательно, движение проекции тела на ось будет равномерным. Движение проекции тела на ось происходит в обоих направлениях - вверх и вниз - с одинаковым ускорением . Поэтому на прохождение пути вверх от произвольной высоты до высоты подъема к затрачивается такое же время , как и на прохождение пути вниз от высоты до . Отсюда следует, что симметричные относительно вершины точки (например, точки и ) лежат на одинаковой высоте. А это означает, что траектория симметрична относительно точки . Но характер траектории тела после точки мы уже выяснили в § 112. Это - парабола, которую описывает тело, летящее с горизонтальной начальной скоростью. Следовательно, все то, что мы говорили относительно траектории тела в предыдущем параграфе, в равной мере относится и к рассматриваемому случаю, только вместо «половины параболы» тело описывает «полную параболу» , симметричную относительно точки .

Проверить полученный результат можно также при помощи струи воды, вытекающей из наклонно поставленной трубки (рис, 179). Если позади струи поместить экран с заранее начерченными параболами, то можно увидеть, что струи воды также представляют собой параболы.

Рис. 179. Струя имеет форму параболы, тем более вытянутой, чем больше начальная скорость струи

Высота подъема и расстояние, которое пройдет брошенное тело в горизонтальном направлении до возвращения на ту высоту, с которой тело начало свое движение, т. е. расстояние на рис. 178, зависят от модуля и направления начальной скорости . Прежде всего, при данном направлении начальной скорости и высота и горизонтальное расстояние тем больше, чем больше модуль начальной скорости (рис. 179).

Для одинаковых по модулю начальных скоростей расстояние, которое проходит тело в горизонтальном направлении до возвращения на первоначальную высоту, зависит от направления начальной скорости (рис. 180). При увеличении угла между скоростью и горизонтом это расстояние сначала увеличивается, при угле в достигает наибольшего значения, а затем снова начинает уменьшаться.

Проведем расчет движения тела, брошенного вверх под углом к горизонту с начальной скоростью (рис. 178). Напомним, что проекция скорости тела на ось постоянна и равна . Поэтому координата тела в момент времени равна

. (113.1)

Рис. 180. При увеличении наклона струи, вытекающей с данной скоростью, расстояние, на которое она бьет, сначала увеличивается, достигает наибольшего значения при наклоне в , а затем уменьшается

Движение проекции тела на ось будет сначала равнозамедленным. После того как тело достигнет вершины траектории , проекция скорости станет отрицательной, т. е. одного знака с проекцией ускорения, вследствие чего начнется равноускоренное движение тела вниз. Проекция скорости на ось изменяется со временем по закону

. (113.2)

В вершине траектории скорость тела имеет только горизонтальную составляющую, а обращается в нуль. Чтобы найти момент времени , в который тело достигнет вершины траектории, подставим в формулу (113.2) вместо и приравняем получившееся выражение нулю:

; отсюда (113.3)

Определяемое формулой (113.3) значение дает время, за которое брошенное тело достигает вершины траектории. Если точка бросания и точка падения тела лежат на одном уровне, то все время полета будет равно :, при т. е. при бросании тела вертикально вверх.

113.1. Камень, брошенный с земли вверх под углом к горизонту, падает обратно на землю на расстоянии 14 м. Найти горизонтальную и вертикальную составляющие начальной скорости камня, если весь полет продолжался 2 с. Найти наибольшую высоту подъема камня над землей. Сопротивлением воздуха пренебречь.

113.2. Пожарный направляет струю воды на крышу дома высоты 15 м. Над крышей дома струя поднимается на 5 м. На каком расстоянии от пожарного (считая по горизонтали) струя упадет на крышу, если она вырывается из шланга со скоростью 25 м/с? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Кинематика - это просто!

После броска, в полете, на тело действуют сила тяжести Fт и сила сопротивления воздуха Fс .
Если движение тела происходит на малых скоростях, то при расчете силу сопротивления воздуха обычно не учитывают.
Итак, можно считать, что на тело действует только сила тяжести, значит движение брошенного тела является свободным падением .
Если это свободное падение, то ускорение брошенного тела равно ускорению свободного падения g .
На малых высотах относительно поверхности Земли сила тяжести Fт практически не меняется, поэтому тело движется с постоянным ускорением.

Итак, движение тела, брошенного под углом к горизонту является вариантом свободного падения, т.е. движением с постоянным ускорением и криволинейной траекторией (т.к. векторы скорости и ускорения не совпадают по направлению).

Формулы этого движения в векторном виде: Для расчета движения тела выбирают прямоугольную систему координат XOY, т.к. траекторией движения тела является парабола, лежащая в плоскости, проходящей через векторы Fт и Vo .
За начало координат обычно выбирают точку начала движения брошенного тела.

В любой момент времени изменение скорости движения тела по направлению совпадает с ускорением.

Вектор скорости тела в любой точке траектории можно разложить на 2 составляющих: вектор V x и вектор V y .
В любой момент времени скорость тела будет определяться, как геометрическая сумма этих векторов:

Согласно рисунку, проекции вектора скорости на координатные оси OX и OY выглядят так:

Расчет скорости тела в любой момент времени:

Расчет перемещения тела в любой момент времени:

Каждой точке траектории движения тела соответствуют координаты X и Y:

Расчетные формулы для координат брошенного тела в любой момент времени:

Из уравнения движения можно вывести формулы для расчета максимальной дальности полета L:

и максимальной высоты полета Н:

P.S.
1. При равных по величине начальных скоростях Vo дальность полета:
- возрастает, если начальный угол бросания увеличивать от 0 o до 45 o ,
- убывает, если начальный угол бросания увеличивать от 45 o до 90 o .

2. При равных начальных углах бросания дальность полета L возрастает с увеличением начальной скорости Vo.

3. Частным случаем движения тела, брошенного под углом к горизонту, является движение тела, брошенного горизонтально , при этом начальный угол бросания равен нулю.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Рассмотрим движение тела, брошенного со скоростью V 0 , вектор которой направлен под углом α к горизонту, в плоскости XOY, расположив тело в момент бросания в начало координат, как это изображено на рисунке 1.

В отсутствии сил сопротивления, движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как частный случай криволинейного движения под действием силы тяжести. Применяя 2 - ой закон Ньютона

∑ F i
получаем
mg = ma ,
		a = g
Проекции вектора ускорения a на оси ОХ и ОУ равны:
			= −g
где g = const - это		ускорение свободного падения,							которого всегда
направлен вертикально вниз,		численное значение g = 9,8м/с2 ;						= −g		т.к. ось ОУ на

рисунке 1 направлена вверх, в случае, когда ось OY направлена вниз, то проекция вектора

2 a на ось ОУ будет положительна (читая условия задач, выбирайте сами направление осей, если это не прописано в условии).

Значения проекций вектора ускорения a на оси ОХ и ОУ дают основание сделать

следующий вывод:

∙ тело, брошенное под углом к горизонту, одновременно участвует в двух движениях - равномерном по горизонтали и равнопеременном по

вертикали.
Скорость тела в таком случае
	V = Vx + Vy
Скорость тела в начальный момент времени (в момент бросания тела)
V 0 = V 0 x			V 0 y .
Проекции вектора начальной скорости на оси ОХ и ОУ равны
		V cosα
V 0 y		V 0 sin α

Для равнопеременного движения зависимости скорости и перемещения от времени задаются уравнениями:

V 0 + at

S 0 + V 0 t +

и S 0 - это скорость и перемещение тела в начальный момент времени,

и S t - это скорость и перемещение тела в момент времени t.

Проекции векторного уравнения (8) на оси ОХ и ОУ равны

V 0 x

Ax t ,

V ty = V 0 y + a y t

Const

V 0 y - gt

Проекции векторного уравнения (9) на оси ОХ и ОУ равны

S ox + V ox t +

a y t 2

S 0 y

V oy t +

с учетом равенств (4), получаем

S 0 y

V oy t -

gt 2

где Sox и Soy -

координаты тела

в начальный момент времени,

а Stx и Sty -

координаты тела в момент времени t.

За время своего движения t (от момента бросания до момента падения на тот же

уровень) тело поднимается на максимальную высоту hmax , спускается с неё и отлетает от места бросания на расстояние L (дальность полета) - см. рисунок 1.

1) Время движения тела t можно найти, учитывая значения координат тела Sy в

Soy = 0, Sty = 0,

подставив значения Voy и (14) во второе уравнение системы (13), получаем

2) Дальность полета L можно найти, учитывая значения координат тела Sх в

начальный момент времени и в момент времени t (см. рис.1)

Soх = 0, Stх = L,

подставив значения Vox и (17) в первое уравнение системы (13), получаем

		L = V 0 cosα × t ,
откуда, с учетом (16), получаем
L = V cosα ×	2V sin α

3) Максимальную высоту подъёма тела h max можно найти, учитывая значение

скорости тела V в точке максимального подъёма тела

V 0 x

Т.к. в этой точке V y

Используя вторые уравнения систем (11) и (13) ,

значение Voу , а также тот факт,

что в точке максимального подъёма тела Sy = hmax , получаем

0 = V 0 sin α - g × t под

gt под2

V 0 sin α × t -

h max

где tпод - время подъёма - время движения на высоту максимального подъёма тела.

Решая эту систему, получаем

t под =

V 0 sin α

sin 2 α

Сравнение значений (16) и (22), даёт основание сделать вывод

· время движения на высоту максимального подъёма тела (t под ) равно времени спуска тела (tсп ) с этой высоты и равно половине времени всего движения тела от момента бросания до момента падения на тот же уровень

t под	T сп

Изучать движение тела, брошенного со скоростью V 0 , вектор которой направлен под углом α к горизонту, в плоскости XOY, очень наглядно на компьютерной модели

"Свободное падение тел" в сборнике компьютерных моделей "Открытая физика"

компании ФИЗИКОН. В этой модели можно задавать разные начальные условия.

Например, рассмотренный нами случай нужно задавать (команда "Очистить") при начальном условии h = 0 и выбранных V0 и α. Команда "Старт" продемонстрирует движение тела и даст картинку траектории движения и направление векторов скорости тела в фиксированные моменты времени.

Рис.2. Диалоговое окно компьютерной модели "Свободное падение тел" в разделе

"Механика"; тело движется из точки начала координат и падает на том же уровне .

Если условие задачи отличается от рассмотренного нами случая, то необходимо

для решения задачи, выбрав направление осей, разместить тело в начальный момент

времени, изобразить траекторию движения тела до точки падения, таким образом

определив координаты тела в начальный и конечный моменты времени. Затем

использовать уравнения (3), (5), (8) и (9) как основу для решения и рассмотренный выше

алгоритм решения задачи.

Рассмотрим частные случаи.

6 1. Тело бросили со скоростью V 0 , вектор которой направлен под углом α к

горизонту, с высоты h и оно упало на расстоянии L от места бросания. y в начальный

Soy = h,

а значения остальных координат будут выбраны так же, как мы выбирали.

Рис.3. Диалоговое окно компьютерной модели "Свободное падение тел" в разделе

"Механика"; тело движется из точки h = 50м и падает на нулевой уровень .

2. Тело бросили горизонтально со скоростью V 0 , с высоты h и оно упало на расстоянии L от места бросания. Отличие от рассмотренного нами случая заключается в том, значения координат тела S y в начальный момент определится так же уравнением (25),

а значения остальных координат будут выбраны так же, как мы выбирали. Но в этом случае начальная скорость тела в проекции на ось ОУ равна нулю (так как α = 0), т.е.

проекции вектора начальной скорости на оси ОХ и ОУ равны

V 0 y

Рис.4. Диалоговое окно компьютерной модели "Свободное падение тел" в разделе

"Механика"; тело, брошенное горизонтально, движется из точки h = 50м и падает на нулевой уровень .